Barisan dan Limit Barisan ~ BEUNGHAR EDUKASI

Barisan dan Limit Barisan

A. Barisan Bilangan Real

Definisi 1:
Suatu barisan bilangan Real adalah suatu fungsi pada himpunan N dengan daerah hasil yang termuat di R.

Suatu barisan di R memasangkan masing-masing bilangan asli n = 1, 2, 3, ... secara tunggal dengan bilangan real.
Bilangan real yang diperoleh tersebut disebut elemen atau nilai atau suku dari barisan tersebut.
Penulisan elemen dari R yang berpasangan dengan $n\epsilon N$ dengan suatu simbol

yaitu $x_{n}$ .

Bila $X:N\rightarrow R$   suatu barisan.
Nilai X di n ditulis dengan $X_{n}$ .
Notasi barisan ditulis $X=\left ( X_{n}:n\epsilon N \right )$ .

Contoh:
1. Barisan $X=\left ((-1)^{n}:n\epsilon N \right )$
Himpunan nilai barisan X adalah $\left \{ -1,1 \right \}$ dapat dinotasikan $\left \{ (-1^{n}):n\epsilon N \right \}$ .

2. Barisan $Y=(2,4,6,8,...)$   dapat dinotasikan dengan $Y=(2n:n\epsilon N)$ .
3. Barisan $Z=(\frac1{1}{},\frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{16},...)$ dapat dinotasikan dengan   $Z=(\frac{1}{s^{2}}:s\epsilon N)$ .

Definisi 2:
Bila $X=\left ( x_{n} \right )$ dan $Y=\left ( y_{n} \right )$ barisan bilangan R didefinisikan
$X+Y=\left ( x_{n}+y_{n}: n\epsilon N \right )$
$X-Y=\left ( x_{n}-y_{n}: n\epsilon N \right )$
$XY=\left ( x_{n}y_{n}: n\epsilon N \right )$
Bila $c\epsilon R$ didefinisikan $cX=\left ( cx_{n}: n\epsilon N \right )$
Bila $Z=\left ( z_{n})$ suatu barisan dengan $z_{n}\neq 0$ dan $n\epsilon N$ didefinisikan
$\frac{X}{Z}=\left ( \frac{x_{n}}{z_{n}}:n\epsilon N\right )$

Latihan 1
1. Susun sebuah barisan $X=(n^{2}-2n+1: n\epsilon N)$ .
2. Tentukan notasi dari barisan $Y=(3,5,9,17,33,...)$
3. Berikan masing-masing 2 (dua) contoh dari penerapan Definisi 2 menurut pemahamanmu!

B. Limit Barisan

Definisi:
Misalkan $X = (x_{n})$ barisan bilangan R. Suatu bilangan real x dikatakan limit dari $(x_{n})$ bila untuk setiap $\varepsilon >0$ terdapat bilangan asli $K(\varepsilon)$ , sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli $n\geq K(\varepsilon)$ , suku-suku $x_{n}$ memenuhi $\left | x_{n}-x \right |<\varepsilon$

Bila x merupakan suatu limit dari barisan tersebut dapat dikatakan bahwa $X = (x_{n})$ konvergen ke-x.
Bila suatu barisan mempunyai limit dapat dikatakan bahwa barisan tersebut konvergen.
Namun, bila suatu barisan tidak mempunyai limit dapat dikatakan bahwa barisan tersebut divergen.

Jika suatu barisan mempunyai limit x, maka dapat ditulis:
$Lim X=x$ atau $Lim \left (x_{n} \right )=x$   atau   $x_{n}\rightarrow x$

Notasi K(ε) secara eksplisit menyatakan bahwa pemilihan K tergantung pada nilai ε>0. Dalam beberapa kasus, nilai “kecil” ε selalu membutuhkan nilai besar” K untuk menjamin bahwa   $|x_{n}- x|$ antara $x_{n}$ dan x adalah kurang dari ε untuk setiap n ≥ K = K (ε).

Contoh:
Tunjukkan bahwa $Lim \left ( \frac{1}n{} \right )=0$
Penyelesaian:
Diberikan ε>0 sebarang, sehingga $\frac{1}{\varepsilon}> 0$

Sifat Archimedes: Untuk setiap $x\epsilon R$ terdapat $n_{x} \epsilon N$ sehingga $x<n_{x}$

Menurut Sifat Archimedes terdapat bilangan asli K = K (ε) sehingga bila n ≥ K diperoleh $|\frac{1}{n}-0|=\left | \frac{1}{n} \right |=\frac{1}{n}<\varepsilon$
Dapat dinyatakan bahwa $Lim \left ( \frac{1}n{} \right )=0$   dengan kata lain barisan $\frac{1}{n}$ konvergen ke 0.