November 2019 ~ BEUNGHAR EDUKASI

Barisan Monoton dan Teorema Bolzano Weierstrass

File ini berisi materi tentang Barisan Monoton, Konvergensi Monoton, Barisan Bagian, Kriteria Divergensi, Barisan Bagian Monoton, dan Teorema Bolzano-Weiertrass.

Penggunaan Tenses pada Penulisan Artikel Ilmiah

Penulisan artikel ilmiah dalam bahasa Inggris menggunakan aturan tenses pada setiap bagian-bagian artikel tersebut. Secara umum, ada 6 bagian artikel yaitu abstrak (abstract), pendahuluan (introduction), metode (method), hasil (result), pembahasan (discussion), dan kesimpulan (conclusions). Penggunaan aturan tenses pada ke-6 bagian artikel sebagai berikut:

1. Abstract
Present tense untuk menjelaskan gaps (kesenjangan) penelitian, tujuan, dan objek penelitian.
Past tense untuk menjelaskan metode dan kesimpulan penelitian.
Past perfect tense untuk menjelaskan hasil penelitian.

2. Introduction
Present tense untuk menjelaskan fakta, kebenaran, dan kesesuaian pada sumber rujukan.
Past tense untuk menjelaskan penelitian terdahulu yang telah dilakukan dan hasilnya.

3. Method
Present tense untuk menjelaskan prosedur penelitian.
Past tense untuk menjelaskan prosedur yang telah dilakukan.

4. Result
Present tense untuk menjelaskan tabel, gambar, dan diagram.

5. Discussion
Past tense untuk menjelaskan hasil penelitian secara detail.

6. Conclusion
Past tense untuk menjelaskan ringkasan dari temuan dan implikasi.
Future tense untuk menjelaskan saran dari penelitian.

Demikian aturan penggunaan tenses dalam penulisan artikel ilmiah bahasa Inggris. Semoga bermanfaat.

Barisan dan Limit Barisan

A. Barisan Bilangan Real

Definisi 1:
Suatu barisan bilangan Real adalah suatu fungsi pada himpunan N dengan daerah hasil yang termuat di R.

Suatu barisan di R memasangkan masing-masing bilangan asli n = 1, 2, 3, ... secara tunggal dengan bilangan real.
Bilangan real yang diperoleh tersebut disebut elemen atau nilai atau suku dari barisan tersebut.
Penulisan elemen dari R yang berpasangan dengan $n\epsilon N$ dengan suatu simbol

yaitu $x_{n}$ .

Bila $X:N\rightarrow R$   suatu barisan.
Nilai X di n ditulis dengan $X_{n}$ .
Notasi barisan ditulis $X=\left ( X_{n}:n\epsilon N \right )$ .

Contoh:
1. Barisan $X=\left ((-1)^{n}:n\epsilon N \right )$
Himpunan nilai barisan X adalah $\left \{ -1,1 \right \}$ dapat dinotasikan $\left \{ (-1^{n}):n\epsilon N \right \}$ .

2. Barisan $Y=(2,4,6,8,...)$   dapat dinotasikan dengan $Y=(2n:n\epsilon N)$ .
3. Barisan $Z=(\frac1{1}{},\frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{16},...)$ dapat dinotasikan dengan   $Z=(\frac{1}{s^{2}}:s\epsilon N)$ .

Definisi 2:
Bila $X=\left ( x_{n} \right )$ dan $Y=\left ( y_{n} \right )$ barisan bilangan R didefinisikan
$X+Y=\left ( x_{n}+y_{n}: n\epsilon N \right )$
$X-Y=\left ( x_{n}-y_{n}: n\epsilon N \right )$
$XY=\left ( x_{n}y_{n}: n\epsilon N \right )$
Bila $c\epsilon R$ didefinisikan $cX=\left ( cx_{n}: n\epsilon N \right )$
Bila $Z=\left ( z_{n})$ suatu barisan dengan $z_{n}\neq 0$ dan $n\epsilon N$ didefinisikan
$\frac{X}{Z}=\left ( \frac{x_{n}}{z_{n}}:n\epsilon N\right )$

Latihan 1
1. Susun sebuah barisan $X=(n^{2}-2n+1: n\epsilon N)$ .
2. Tentukan notasi dari barisan $Y=(3,5,9,17,33,...)$
3. Berikan masing-masing 2 (dua) contoh dari penerapan Definisi 2 menurut pemahamanmu!

B. Limit Barisan

Definisi:
Misalkan $X = (x_{n})$ barisan bilangan R. Suatu bilangan real x dikatakan limit dari $(x_{n})$ bila untuk setiap $\varepsilon >0$ terdapat bilangan asli $K(\varepsilon)$ , sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli $n\geq K(\varepsilon)$ , suku-suku $x_{n}$ memenuhi $\left | x_{n}-x \right |<\varepsilon$

Bila x merupakan suatu limit dari barisan tersebut dapat dikatakan bahwa $X = (x_{n})$ konvergen ke-x.
Bila suatu barisan mempunyai limit dapat dikatakan bahwa barisan tersebut konvergen.
Namun, bila suatu barisan tidak mempunyai limit dapat dikatakan bahwa barisan tersebut divergen.

Jika suatu barisan mempunyai limit x, maka dapat ditulis:
$Lim X=x$ atau $Lim \left (x_{n} \right )=x$   atau   $x_{n}\rightarrow x$

Notasi K(ε) secara eksplisit menyatakan bahwa pemilihan K tergantung pada nilai ε>0. Dalam beberapa kasus, nilai “kecil” ε selalu membutuhkan nilai besar” K untuk menjamin bahwa   $|x_{n}- x|$ antara $x_{n}$ dan x adalah kurang dari ε untuk setiap n ≥ K = K (ε).

Contoh:
Tunjukkan bahwa $Lim \left ( \frac{1}n{} \right )=0$
Penyelesaian:
Diberikan ε>0 sebarang, sehingga $\frac{1}{\varepsilon}> 0$

Sifat Archimedes: Untuk setiap $x\epsilon R$ terdapat $n_{x} \epsilon N$ sehingga $x<n_{x}$

Menurut Sifat Archimedes terdapat bilangan asli K = K (ε) sehingga bila n ≥ K diperoleh $|\frac{1}{n}-0|=\left | \frac{1}{n} \right |=\frac{1}{n}<\varepsilon$
Dapat dinyatakan bahwa $Lim \left ( \frac{1}n{} \right )=0$   dengan kata lain barisan $\frac{1}{n}$ konvergen ke 0.