Sifat Kelengkapan Bilangan Real ~ BEUNGHAR EDUKASI

Sifat Kelengkapan Bilangan Real

Sifat Kelengkapan Bilangan Real

Sifat kelengkapan berkaitan dengan konsep supremum dan infimum pada Bilangan R.

Defenisi
Misalkan S adalah sub-himpunan dari R.
a. Bila S terbatas di atas, maka batas atas u dikatakan supremum (batas atas terkecil) dari S bila tidak terdapat batas atas (yang lain) dari S yang kurang dari u.
b. Bila S terbatas di bawah, maka batas bawah w dikatakan infimum (batas
bawah terbesar) dari S bila tidak terdapat batas bawah (yang lain) dari S yang kurang dari w.

Lemma 1
Bilangan real u merupakan supremum dari himpunan tak kosong S di R jika dan hanya jika u memenuhi kedua kondisi berikut:
a. $s\leqslant u$ untuk semua $s\epsilon S$ .
b. bila v < u, maka terdapat $s{}'\epsilon S$ sehingga $v<s{}'$ .

Lemma 2
Suatu batas atas u dari himpunan tak kosong S di R merupakan supremum
dari S jika dan hanya jika untuk setiap $\varepsilon < 0$ terdapat $s_{\varepsilon }\epsilon S$ sehingga $u-\varepsilon <S_{{\varepsilon }}$

Sifat Supremum dari R
Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang mempunyai batas atas mempunyai supremum di R.

Sifat Infimum dari R
Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang mempunyai batas bawah mempunyai infimum di R.

Latihan
1. Buktikan Lemma 1, Lemma 2, Sifat Supremum dari R, serta Sifat Infimum dari R dengan kalimat Anda sendiri.
2. Misalkan $S_{2}=\left \{ x\epsilon R: x\geq 0 \right \}$ . Apakah $S_{2}$ memiliki batas atas dan batas bawah? Buktikan!
3. Buktikan bahwa jika a batas atas dari himpunan A, dan b batas bawah dari himpunan A, maka
a. Setiap $c\epsilon R$ dengan $c\geqslant a$ merupakan batas atas dari A.
b. Setiap $d\epsilon R$ dengan $d\leq b$ merupakan batas bawah dari A.