Sifat Aljabar Bilangan Real

1. Pengertian Bilangan Real

Bilangan Real merupakan sekumpulan bilangan rasional dan irasional yang dapat berkoresponden satu–satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. 

Bilangan rasional merupakan bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk  di mana p dan q anggota himpunan Bilangan Bulat dan .

Bilangan irasional merupakan bilangan yang tidak dapat dibagi karena hasil baginya tidak akan pernah terhenti. Apabila bilangan tersebut tidak dapat dijadikan bentu a/b maka merupakan bilangan irasional.
Contoh: 

2. Sifat-Sifat Aljabar Bilangan Real

Pada bilangan Real (R) terdapat operasi biner. Operasi biner pada R yaitu fungsi dengan domain RxR dan range R. 
Pada sitem bilangan real terdapat dua operasi biner yang dinotasikan dengan penjumlahan "+" dan perkalian "∙" yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

(A1). a + b = b + a untuk semua a,b di R (sifat komutatif penjumlahan);

(A2). (a + b) + c = a + (b + c) untuk semua a,b,c di R (sifat assosiatif penjumlahan);

(A3). Terdapat unsur 0 di R sehingga 0 + a = a dan a + 0 = a untuk semua a di R (eksistensi unsur nol);

(A4). Untuk setiap a di R terdapat unsur -a di R, sehingga a + (-a) = 0 dan (-a) + a = 0 (eksistensi negatif dari unsur);

(M1). a.b = b.a untuk semua a,b di R (sifat komutatif perkalian);

(M2). (a.b) . c = a . (b.c) untuk semua a,b,c di R (sifat asosiatif perkalian);

(M3). Terdapat unsur 1 di R yang berbeda dari 0, sehingga 1.a = a dan a.1 = a untuk semua a di R (eksistensi unsur satuan);

(M4). untuk setiap a ¹ 0 di R terdapat unsur 1/a di R sehingga a.1/a = 1 dan (1/a).a =1 (eksistensi balikan);

(D). a.(b+c) = (a.b) + (a.c) dan (b+c) . a = (b.a) + (c.a) untuk semua a,b,c di R (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan);

3. Teorema Pada Bilangan Real

Teorema 1
(a). Bila z dan a unsur di R sehingga z + a = a, maka z = 0
(b). Bila u dan  unsur R sehingga u.b = b, maka u = 1
Buktikan (a) dan (b)?

Teorema 2
(a). Bila a dan b unsur di R sehinga a+b=0, maka b=-a
(b). Bila  dan b unsur di R sehingga a.b = 1, maka b = 
Buktikan (a) dan (b)!

Teorema 3
Misalkan a,b sebarang unsur di R, maka:
(a). Persamaan a+x=b mempunyai solusi tunggal x=(-a)+b
(b). Bila , persamaan a.x=b mempunyai solusi tunggal x = ().b
Buktikan (a) dan (b)!

Teorema 4
Bila a sebarang unsur di R, maka:
(a). a.0=0
(b). (-1).a=-a
(c). -(-a)=a
(d). (-1).(-1)=1
Buktikan (a), (b), (c), dan (d)!

Teorema 5
Misalkan a,b,c unsur-unsur di R.
(a). Bila , maka  dan 
(b). Bila a.b=a.c dan , maka b=c
(c). Bila a.b=0, maka paling tidak satu dari a=0 atau b=0 benar.
Buktikan (a), (b), dan (c)!

Teorema 6
Tidak ada bilangan rasional r, sehingga =2.
Buktikan!

Share: