September 2019 ~ BEUNGHAR EDUKASI

Buku Ajar Analisis Real

Beunghar EdukasiSeptember 28, 2019Materi Kuliah Tidak ada komentar

Nilai Mutlak

Beunghar EdukasiSeptember 21, 2019Materi Kuliah Tidak ada komentar

Nilai Mutlak

Berdasarkan sifat trikotomi, bila $a\epsilon R$ dan $a\neq 0$ , maka terdapat bilangan a atau --a.
Nilai mutlak dari $a\neq 0$ didefinisikan sebagai bilangan yang positif dari keduanya.
Nilai mutlak dari 0 didefinisikan 0.

Defenisi
Bila $a\epsilon R$ , nilai mutlak a dituliskan $\left | a \right |$ didefinisikan dengan
$\left | a \right |=\left\{\begin{matrix} \\ a, bila\rightarrow a> 0 \\ 0, bila\rightarrow a=0 \\ -a, bila\rightarrow a<0 \end{matrix}\right.$
Dalam bentuk lain:
$\left | a \right |\geq 0$ untuk semua $a\epsilon R$
$\left | a \right |=a$ bila $a\geq 0$
$\left | a \right |=-a$ bila $a< 0$

Teorema 1
(a). $\left | a \right |=0$ jika dan hanya jika a=0
(b). $\left | -a \right |=\left | a \right |$ untuk semua $a,b \epsilon R$
(c). $\left | ab \right |=\left | a \right |\left | b \right |$ untuk semua $a,b \epsilon R$
(d). Bila $c\geq 0$ maka $\left | a \right |\leq c$ jika dan hanya jika $-c\leq a\leq c$
(e). $-\left |a \right |\leq a\leq \left |a \right |$ untuk semua $a\epsilon R$
Buktikan (a), (b), (c), (d), dan (e)!

Ketaksamaan Segitiga
Untuk sebarang $a,b \epsilon R$ diperoleh $\left |a+b \right |\leq \left |a \right |+\left |b \right |$ .
Buktikan!

Latihan
(1). Tentukan himpunan A dari bilangan real x yang memenuhi $\left | 2x+3 \right |<6$
(2). Tentukan himpunan $B=\left \{ x\epsilon R, \left | x-1 \right |<\left | x \right | \right \}$

Sifat Aljabar Bilangan Real

Beunghar EdukasiSeptember 21, 2019Materi Kuliah Tidak ada komentar

1. Pengertian Bilangan Real

Bilangan Real merupakan sekumpulan bilangan rasional dan irasional yang dapat berkoresponden satu–satu dengan sebuah titik pada garis bilangan.

Bilangan rasional merupakan bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk $\frac{p}{q}$ di mana p dan q anggota himpunan Bilangan Bulat dan $q\neq 0$ .

Bilangan irasional merupakan bilangan yang tidak dapat dibagi karena hasil baginya tidak akan pernah terhenti. Apabila bilangan tersebut tidak dapat dijadikan bentu a/b maka merupakan bilangan irasional.
Contoh: $\pi=3,14159... , \sqrt{2}=1,41421..., e = 2,71828...$

2. Sifat-Sifat Aljabar Bilangan Real

Pada bilangan Real (R) terdapat operasi biner. Operasi biner pada R yaitu fungsi dengan domain RxR dan range R.
Pada sitem bilangan real terdapat dua operasi biner yang dinotasikan dengan penjumlahan "+" dan perkalian "∙" yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

(A1). a + b = b + a untuk semua a,b di R (sifat komutatif penjumlahan);

(A2). (a + b) + c = a + (b + c) untuk semua a,b,c di R (sifat assosiatif penjumlahan);

(A3). Terdapat unsur 0 di R sehingga 0 + a = a dan a + 0 = a untuk semua a di R (eksistensi unsur nol);

(A4). Untuk setiap a di R terdapat unsur -a di R, sehingga a + (-a) = 0 dan (-a) + a = 0 (eksistensi negatif dari unsur);

(M1). a.b = b.a untuk semua a,b di R (sifat komutatif perkalian);

(M2). (a.b) . c = a . (b.c) untuk semua a,b,c di R (sifat asosiatif perkalian);

(M3). Terdapat unsur 1 di R yang berbeda dari 0, sehingga 1.a = a dan a.1 = a untuk semua a di R (eksistensi unsur satuan);

(M4). untuk setiap a ¹ 0 di R terdapat unsur 1/a di R sehingga a.1/a = 1 dan (1/a).a =1 (eksistensi balikan);

(D). a.(b+c) = (a.b) + (a.c) dan (b+c) . a = (b.a) + (c.a) untuk semua a,b,c di R (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan);

3. Teorema Pada Bilangan Real

Teorema 1
(a). Bila z dan a unsur di R sehingga z + a = a, maka z = 0
(b). Bila u dan $b\neq 0$ unsur R sehingga u.b = b, maka u = 1
Buktikan (a) dan (b)?

Teorema 2
(a). Bila a dan b unsur di R sehinga a+b=0, maka b=-a
(b). Bila $a\neq 0$ dan b unsur di R sehingga a.b = 1, maka b = $\frac{1}{a}$
Buktikan (a) dan (b)!

Teorema 3
Misalkan a,b sebarang unsur di R, maka:
(a). Persamaan a+x=b mempunyai solusi tunggal x=(-a)+b
(b). Bila $a\neq 0$ , persamaan a.x=b mempunyai solusi tunggal x = ( $\frac{1}{a}$ ).b
Buktikan (a) dan (b)!

Teorema 4
Bila a sebarang unsur di R, maka:
(a). a.0=0
(b). (-1).a=-a
(c). -(-a)=a
(d). (-1).(-1)=1
Buktikan (a), (b), (c), dan (d)!

Teorema 5
Misalkan a,b,c unsur-unsur di R.
(a). Bila $a\neq 0$ , maka $\frac{1}{a}\neq 0$ dan $\frac{1}{\frac{1}{a}}=a$
(b). Bila a.b=a.c dan $a\neq 0$ , maka b=c
(c). Bila a.b=0, maka paling tidak satu dari a=0 atau b=0 benar.
Buktikan (a), (b), dan (c)!

Teorema 6
Tidak ada bilangan rasional r, sehingga $r^{2}$ =2.
Buktikan!

Silabus Analisis Real (S2)

Beunghar EdukasiSeptember 14, 2019Silabus Tidak ada komentar

Rincian materi pada Silabus Analisis Real terdiri dari sifat-sifat aljabar dan urutan himpunan bilangan real, nilai mutlak dan garis bilangan, sifat kelengkapan himpungan bilangan real, aplikasi sifat-sifat supremum, barisan dan limitnya, teorema-teorema limit, barisan monoton, sub-barisan dan eksistensi sub-barisan monoton, teorema Bolzano-Weierstrass, Kriteria Cauchy, barisan divergen sejati, kekonvergenan mutlak dan bersyarat.