2019 ~ BEUNGHAR EDUKASI

Barisan Monoton dan Teorema Bolzano Weierstrass

Beunghar EdukasiNovember 23, 2019Materi Kuliah Tidak ada komentar

File ini berisi materi tentang Barisan Monoton, Konvergensi Monoton, Barisan Bagian, Kriteria Divergensi, Barisan Bagian Monoton, dan Teorema Bolzano-Weiertrass.

Penggunaan Tenses pada Penulisan Artikel Ilmiah

Beunghar EdukasiNovember 23, 2019Materi Umum Tidak ada komentar

Penulisan artikel ilmiah dalam bahasa Inggris menggunakan aturan tenses pada setiap bagian-bagian artikel tersebut. Secara umum, ada 6 bagian artikel yaitu abstrak (abstract), pendahuluan (introduction), metode (method), hasil (result), pembahasan (discussion), dan kesimpulan (conclusions). Penggunaan aturan tenses pada ke-6 bagian artikel sebagai berikut:

1. Abstract
Present tense untuk menjelaskan gaps (kesenjangan) penelitian, tujuan, dan objek penelitian.
Past tense untuk menjelaskan metode dan kesimpulan penelitian.
Past perfect tense untuk menjelaskan hasil penelitian.

2. Introduction
Present tense untuk menjelaskan fakta, kebenaran, dan kesesuaian pada sumber rujukan.
Past tense untuk menjelaskan penelitian terdahulu yang telah dilakukan dan hasilnya.

3. Method
Present tense untuk menjelaskan prosedur penelitian.
Past tense untuk menjelaskan prosedur yang telah dilakukan.

4. Result
Present tense untuk menjelaskan tabel, gambar, dan diagram.

5. Discussion
Past tense untuk menjelaskan hasil penelitian secara detail.

6. Conclusion
Past tense untuk menjelaskan ringkasan dari temuan dan implikasi.
Future tense untuk menjelaskan saran dari penelitian.

Demikian aturan penggunaan tenses dalam penulisan artikel ilmiah bahasa Inggris. Semoga bermanfaat.

Barisan dan Limit Barisan

Beunghar EdukasiNovember 07, 2019Materi Kuliah Tidak ada komentar

A. Barisan Bilangan Real

Definisi 1:
Suatu barisan bilangan Real adalah suatu fungsi pada himpunan N dengan daerah hasil yang termuat di R.

Suatu barisan di R memasangkan masing-masing bilangan asli n = 1, 2, 3, ... secara tunggal dengan bilangan real.
Bilangan real yang diperoleh tersebut disebut elemen atau nilai atau suku dari barisan tersebut.
Penulisan elemen dari R yang berpasangan dengan $n\epsilon N$ dengan suatu simbol

yaitu $x_{n}$ .

Bila $X:N\rightarrow R$   suatu barisan.
Nilai X di n ditulis dengan $X_{n}$ .
Notasi barisan ditulis $X=\left ( X_{n}:n\epsilon N \right )$ .

Contoh:
1. Barisan $X=\left ((-1)^{n}:n\epsilon N \right )$
Himpunan nilai barisan X adalah $\left \{ -1,1 \right \}$ dapat dinotasikan $\left \{ (-1^{n}):n\epsilon N \right \}$ .

2. Barisan $Y=(2,4,6,8,...)$   dapat dinotasikan dengan $Y=(2n:n\epsilon N)$ .
3. Barisan $Z=(\frac1{1}{},\frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{16},...)$ dapat dinotasikan dengan   $Z=(\frac{1}{s^{2}}:s\epsilon N)$ .

Definisi 2:
Bila $X=\left ( x_{n} \right )$ dan $Y=\left ( y_{n} \right )$ barisan bilangan R didefinisikan
$X+Y=\left ( x_{n}+y_{n}: n\epsilon N \right )$
$X-Y=\left ( x_{n}-y_{n}: n\epsilon N \right )$
$XY=\left ( x_{n}y_{n}: n\epsilon N \right )$
Bila $c\epsilon R$ didefinisikan $cX=\left ( cx_{n}: n\epsilon N \right )$
Bila $Z=\left ( z_{n})$ suatu barisan dengan $z_{n}\neq 0$ dan $n\epsilon N$ didefinisikan
$\frac{X}{Z}=\left ( \frac{x_{n}}{z_{n}}:n\epsilon N\right )$

Latihan 1
1. Susun sebuah barisan $X=(n^{2}-2n+1: n\epsilon N)$ .
2. Tentukan notasi dari barisan $Y=(3,5,9,17,33,...)$
3. Berikan masing-masing 2 (dua) contoh dari penerapan Definisi 2 menurut pemahamanmu!

B. Limit Barisan

Definisi:
Misalkan $X = (x_{n})$ barisan bilangan R. Suatu bilangan real x dikatakan limit dari $(x_{n})$ bila untuk setiap $\varepsilon >0$ terdapat bilangan asli $K(\varepsilon)$ , sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli $n\geq K(\varepsilon)$ , suku-suku $x_{n}$ memenuhi $\left | x_{n}-x \right |<\varepsilon$

Bila x merupakan suatu limit dari barisan tersebut dapat dikatakan bahwa $X = (x_{n})$ konvergen ke-x.
Bila suatu barisan mempunyai limit dapat dikatakan bahwa barisan tersebut konvergen.
Namun, bila suatu barisan tidak mempunyai limit dapat dikatakan bahwa barisan tersebut divergen.

Jika suatu barisan mempunyai limit x, maka dapat ditulis:
$Lim X=x$ atau $Lim \left (x_{n} \right )=x$   atau   $x_{n}\rightarrow x$

Notasi K(ε) secara eksplisit menyatakan bahwa pemilihan K tergantung pada nilai ε>0. Dalam beberapa kasus, nilai “kecil” ε selalu membutuhkan nilai besar” K untuk menjamin bahwa   $|x_{n}- x|$ antara $x_{n}$ dan x adalah kurang dari ε untuk setiap n ≥ K = K (ε).

Contoh:
Tunjukkan bahwa $Lim \left ( \frac{1}n{} \right )=0$
Penyelesaian:
Diberikan ε>0 sebarang, sehingga $\frac{1}{\varepsilon}> 0$

Sifat Archimedes: Untuk setiap $x\epsilon R$ terdapat $n_{x} \epsilon N$ sehingga $x<n_{x}$

Menurut Sifat Archimedes terdapat bilangan asli K = K (ε) sehingga bila n ≥ K diperoleh $|\frac{1}{n}-0|=\left | \frac{1}{n} \right |=\frac{1}{n}<\varepsilon$
Dapat dinyatakan bahwa $Lim \left ( \frac{1}n{} \right )=0$   dengan kata lain barisan $\frac{1}{n}$ konvergen ke 0.

Sifat Kelengkapan Bilangan Real

Beunghar EdukasiOktober 05, 2019Materi Kuliah Tidak ada komentar

Sifat Kelengkapan Bilangan Real

Sifat kelengkapan berkaitan dengan konsep supremum dan infimum pada Bilangan R.

Defenisi
Misalkan S adalah sub-himpunan dari R.
a. Bila S terbatas di atas, maka batas atas u dikatakan supremum (batas atas terkecil) dari S bila tidak terdapat batas atas (yang lain) dari S yang kurang dari u.
b. Bila S terbatas di bawah, maka batas bawah w dikatakan infimum (batas
bawah terbesar) dari S bila tidak terdapat batas bawah (yang lain) dari S yang kurang dari w.

Lemma 1
Bilangan real u merupakan supremum dari himpunan tak kosong S di R jika dan hanya jika u memenuhi kedua kondisi berikut:
a. $s\leqslant u$ untuk semua $s\epsilon S$ .
b. bila v < u, maka terdapat $s{}'\epsilon S$ sehingga $v<s{}'$ .

Lemma 2
Suatu batas atas u dari himpunan tak kosong S di R merupakan supremum
dari S jika dan hanya jika untuk setiap $\varepsilon < 0$ terdapat $s_{\varepsilon }\epsilon S$ sehingga $u-\varepsilon <S_{{\varepsilon }}$

Sifat Supremum dari R
Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang mempunyai batas atas mempunyai supremum di R.

Sifat Infimum dari R
Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang mempunyai batas bawah mempunyai infimum di R.

Latihan
1. Buktikan Lemma 1, Lemma 2, Sifat Supremum dari R, serta Sifat Infimum dari R dengan kalimat Anda sendiri.
2. Misalkan $S_{2}=\left \{ x\epsilon R: x\geq 0 \right \}$ . Apakah $S_{2}$ memiliki batas atas dan batas bawah? Buktikan!
3. Buktikan bahwa jika a batas atas dari himpunan A, dan b batas bawah dari himpunan A, maka
a. Setiap $c\epsilon R$ dengan $c\geqslant a$ merupakan batas atas dari A.
b. Setiap $d\epsilon R$ dengan $d\leq b$ merupakan batas bawah dari A.